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条件：公设5（同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在截线的同侧两个内角之和小于两倍的直角，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交）

定义5（当一条直线和另一条直线交成邻角彼此相等时，这些角每一个被叫做直角，而且称这一条直线垂直于另一条直线）

和定义23（平行直线是在同一个平面内向两端无限延长不能相交的直线）

因为当一条直线和另一条直线交成邻角彼此相等时，这些角每一个被叫做直角，而且称这一条直线垂直于另一条直线

所以一个平角等于两倍的直角

且两对截线同侧的内角是两个“一条直线和另一条直线交成邻角”

所以两条线平行线被第三条线所截的四个内角角的总和为两倍的平角

作两条线平行线被第三条线所截

假设截线的同侧的两个内角之和小于两倍的直角（即同旁内角之和小于180度），则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交

因为平行直线是在同一个平面内向两端无限延长不能相交的直线

所以假设错误

所以两对截线同侧的内角和均不小于两直角

假设截线的一侧的两个内角之和大于两倍的直角

所以另一侧小于两倍的直角，

所以这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交

因为平行直线是在同一个平面内向两端无限延长不能相交的直线

所以假设不成立

所以两对截线同侧的内角和均不大于两直角

因为{两对截线同侧的内角和均不小于于两直角，两对截线同侧的内角和均不大于两直角}

所以两对截线同侧的内角和均等于两直角

即同旁内角互补，两直线平行

这些都是公理.

初中几何主要源自欧几里得的《几何原本》.在《几何原本》中有10大公理,第5公理即为平行公理,原命题为：一条直线与两条直线相交,如果在直线某侧两内角之和小于两直角,则这两条直线在延长后,在该侧交于一点.

按照原本,平行即为不相交.以平行公理为假设,可以证明平行线的性质和判定定理.

平行公理有很多等价命题,举数例：

1、过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行.

2、平行于同一直线的两直线平行.

3、三角形内角和等于180度.

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