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同旁内角互补，两直线平行。内错角相等，两直线平行。同位角相等，两直线平行。在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。平行于同一条直线的两条直线互相平行。
两直线平行的条件
在平面上两条直线、空间的两个平面以及空间的一条直线与一平面之间没有任何公共点时，称它们平行。平行线在无论多远都不相交。在三线八角中，构成同位角、内错角、同旁内角。他们都可以用来判断两直线是否平行。
平行的性质
（1）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补（简称“两直线平行，同旁内角互补”）。
（2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等（简称“两直线平行，内错角相等”）。
（3）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等（简称“两直线平行，同位角相等”）。
（4）经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行（平行公理）。
（5）若两条直线分别与另一条直线互相平行，则这两条直线也互相平行。
（6）平行线间的距离处处相等。
如何判定两条直线平行？
定理1：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
定理2：平面外一条直线与此平面的垂线垂直，则这条直线与此平面平行。
已知：a⊥b，b⊥α，且a不在α上。
求证：a∥α证明：设a与b的垂足为A，b与α的垂足为B。
假设a与α不平行，那么它们相交，设a∩α=C，连接BC由于不在直线上的三个点确定一个平面，因此ABC首尾相连得到△ABC
∵B∈α，C∈α，b⊥α
∴b⊥BC，即∠ABC=90°
∵a⊥b，即∠BAC=90°
∴在△ABC中，有两个内角为90°，这是不可能的事情。
∴假设不成立，a∥α
扩展资料：
一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
已知：a∥α，a∈β，α∩β=b。求证：a∥b
证明：假设a与b不平行，设它们的交点为P，即P在直线a，b上。
∵b∈α
∴a∩α=P
与a∥α矛盾
∴a∥b
此定理揭示了直线与平面平行中蕴含着直线与直线平行。通过直线与平面平行可得到直线与直线平行。这给出了一种作平行线的重要方法。
直线与平面平行，不代表与这个平面所有的直线都平行，但直线与平面垂直，那么这条直线与这个平面内的所有直线都垂直。
两直线平行的证明方法步骤
1.同位角相等，两条线平行。
2.内错角相等，两条线平行。
3.同旁内角互补，两条线平行。
4.经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。
5.如果两条直线都与第三条直线直线平行，那么这两条直线也互相平行。
平行线的判定定理：
（1）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。（内错角相等，两直线平行）
（2）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。（同旁内角互补，两直线平行）
（3）两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。（若直线a平行于直线b，直线b平行于直线c，那么直线a也平行于直线c）（等量代换）。
扩展资料：
基本特征
平行线的定义包括三个基本特征：一是在同一平面内，二是两条直线，三是不相交。?
在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：平行和相交。
平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。平行公理的推论体现了平行线的传递性，它可以作为以后推理的依据。
参考资料：
两直线平行的证明方法一
?两直线平行，同位角相等.?是公理，是无法证明的，书上给的也只是说明而已，并没有给出严格证明，而?两直线平行，内错角相等?则是由上面的公理推导出来的，利用了对等角相等做了一个替换，上面两位给出的都不是严格的证明。
一、怎样证明两直线平行 证明两直线平行的常用定理(性质)有: 1.两直线平行的判定定理:①同位角相等,两直线平行;②内错角相等,两直线平行;③同旁内角互补,两直线平行;④平行(或垂直)于同一直线的两直线平行. 2、三角形或梯形的中位线定理. 3、如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边. 4、平行四边形的性质定理. 5、若一直线上有两点在另一直线的同旁 ).(A)艺l=匕3(B)/2=艺3(C)匕4二艺5(D)匕2+/4=18)分析:利用平行线判定定理可判断答案选 C \认六一值!小人﹃夕叱的 一试勺洲洲川JL ZE一B \/(一、图月一飞 /匕\一|求且它们到该直线的距离相等,则两直线平行. 例1(2003年南通市)已知:如图l,下列条件中,不能判断直线l,//l:的是(B). 例2(2003年泉州市)如图2,△注Bc中,匕BAC的平分线AD交BC于D,④O过点A,且和BC切于D,和AB、Ac分别交B于E、F,设EF交AD于C,连结DF. (l)求证:EF// Bc
(1)根据定义。证明两个平面没有公共点。
由于两个平面平行的定义是否定形式，所以直接判定两个平面平行较困难，因此通常用反证法证明。
(2)根据判定定理。证明一个平面内有两条相交直线都与另一个平面平行。
(3)根据?垂直于同一条直线的两个平面平行?，证明两个平面都与同一条直线垂直。
2. 两个平行平面的判定定理与性质定理不仅都与直线和平面的平行有逻辑关系，而且也和直线与直线的平行有密切联系。就是说，一方面，平面与平面的平行要用线面、线线的平行来判定;另一方面，平面
与平面平行的性质定理又可看作平行线的判定定理。这样，在一定条件下，线线平行、线面平行、面面平行就可以互相转化。
3. 两个平行平面有无数条公垂线，它们都是互相平行的直线。夹在两个平行平面之间的公垂线段相等。
因此公垂线段的长度是唯一的，把这公垂线段的长度叫作两个平行平面间的距离。显然这个距离也等于其中一个平面上任意一点到另一个平面的垂线段的长度。
两条异面直线的距离、平行于平面的直线和平面的距离、两个平行平面间的距离，都归结为两点之间的距离。
1. 两个平面的位置关系，同平面内两条直线的位置关系相类似，可以从有无公共点来区分。因此，空间不重合的两个平面的位置关系有：
(1) 平行?没有公共点;
(2) 相交?有无数个公共点，且这些公共点的集合是一条直线。
注意：在作图中，要表示两个平面平行时，应把表示这两个平面的平行四边形画成对应边平行。
2. 两个平面平行的判定定理表述为：
4. 两个平面平行具有如下性质：
(1) 两个平行平面中,一个平面内的直线必平行于另一个平面。
简述为：?若面面平行,则线面平行?。
(2) 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
简述为：?若面面平行,则线线平行?。
(3) 如果两个平行平面中一个垂直于一条直线，那么另一个也与这条直线垂直。
(4) 夹在两个平行平面间的平行线段相等
两直线平行的证明方法二用反证法
A平面垂直与一条直线，
设平面和直线的交点为P
B平面垂直与一条直线，
设平面和直线的交点为Q
假设A和B不平行，那么一定有交点。
设有交点R，那么
做三角形 PQR
PR垂直PQ QR垂直PQ
没有这样的三角形。因为三角形的内角和为180
所以 A一定平行于B
探索直线平行的条件课后教学反思这节课笔者设计的思路是让学生去探索，所以在备课时注重探索过程这一环节.整个教学过程围绕探索这条主线，在教师的引导下通过一个探究实验，让学生去探究发现"同位角相等，两直线平行"这一重要结论.
学习画平行线时，主要采用了?学生自主取向的探究性的'学习?，在探究过程中老师适时地给学生帮助.在理解、会画的基础上，归纳出操作要素.这是一种?动手?体验(经历)?获得?的学习.这同?新课标?提出的?创设情境，开发实践环节，拓宽学习渠道，帮助学生在学习过程中体验、感悟、建构并丰富学习经验，实现知识传承、能力发展、积极的情感形成的统一?的理念是完全吻合.
这节课的教学方法主要是合作探究式.其中充分体现探究式教学的同时又是本节课一个闪光点的是第二个环节：探究实验.在这个环节中，教师首先出示实验操作目的及要求：三根木条相交成?1，?2，固定木条b、c，转动木条a，观察?1，?2满足什么条件时木条a与b平行?按为锐角、直角、钝角将全班分成三种情况来实验.在学生动手实验之前，教师用先准备的教具转动给学生看，然后再让学生自己动手操作、实验;学生实验完毕之后，由学生归纳总结出本节课重点：即同位角相等，两直线平行.在本环节中教师应及时关注：①学生能否独立探究、参与、合作、交流.②学生能否主动参与数学活动，敢于发表个人观点.③小组团结协作程度及创新意识.而我这样设计的意图是：利用教具、学具让学生动手，提高学生学习兴趣，调动学生思考和积极性，提高学生探究合作交流的能力和质量，教师有的放矢，让学生掌握重点，培养学生自主探究的学习习惯和能力.
在讲"同位角"的概念时，笔者在课堂设计中尽量将"同位角"的概念直观化、生活化，让学生易于理解和掌握.在教学过程中启发学生用自己的语言去描述和表达，鼓励学生积极参与、自主学习、主动探索、交流合作，让学生经历探索与发现的全过程，并归纳出判定直线平行的重要结论.使学生真正成为学习的主体.
在上完这节课之后，给我的感觉就是这节课看似简单，但真正上好这节课却并不容易.探索直线平行的条件，实际上是"平行线的判定"老内容新教法，我的体会最深之一就是怎样让学生自主探索直线平行的条件，这与以前的教学方法完全不同，我感觉这节课成功之处是：一引导学生参与整个探索过程使学生真正理解和掌握"同位角"的概念，并能够用自己的语言概括出"同位角相等，两直线平行"这一重要结论;另外在课堂中我创设了装修工人向墙上钉木条的情境，体现数学与现实世界的联系，激发了学生学习本节课的兴趣，使学生爱学、乐学，受到了较好的学习效果;其次本节课在?思维拓展?这一环节中，设计了两个教学活动.通过学生自己动手制作实验、动手折、设计方案，让每个学生得到充分的发展.以一些开放题激活学生的创造性，有意识的培养学生有条理的思考和语言表达.
在使用多媒体的教学活动中，FLASH动画对全课起着画龙点睛的作用.由教学实际出发，将内容系列化，给学生清晰、明快的感受.
遗憾之处是学生用数学语言去描述和表达能力还欠缺.在今后的教学中对学生语言表达能力的培养，要渗透在平时的每一节课的教学中，注意培养学生的数学思想.体会之二就是每上好一节课就要做好两点：①备知识.熟悉这节课的内容以及有关知识.②备学生.既要因材施教更要因生施教，上好一节课不能只看老师在规定的时间完成了教学内容更重要的是学生通过这节课学会了什么，也就是不要看老师按时教了什么而是看学生到学会了什么.学生学会了知识，掌握了知识才能说老师这节课是成功有效的教学.为此在今后的教学中，我会在充分备知识、备学生的基础上，以让学生能在课堂上学会到知识、学会到方法、能力得到提高为教学的主要宗旨.创设丰富的情境，体现数学与现实世界的联系.注重学生探索和交流的活动，充分发挥教师的主导、学生的主体、课堂的示范作用.
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